UC知道非齐次线性方程组的解向量个数的问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/08 22:48:01
我的问题是 这个已知条件本身有没有问题？
理由如下：由已知条件有 1<=R(A)<=3，所以AX=0的解向量的个数n-R(A)=4-R(A)<=3；
问题出来了：在AX=b对应的齐次方程AX=0最多只有3个解向量（极大无关组数量为3）的情况下，AX=b怎么能有4个线性无关的解？
我什么地方弄错了？请详细说明，悬赏50分！！！
a1377051，我把极大无关组定义没弄清？问下：极大无关组定义中的一组向量是预先给定的吧，比如一个4维向量组α1，α2，α3，α4秩为3，但α1，α2，α3，α4，β秩可能为4？
你是错了。AX＝b……①
对应的齐次组为AX＝0……②
②的基础解系如果为α1.α2，α3.①的一个特解设为β.
则①的通解为X＝C1α1+C2α2+C3α3+β.（C1,C2,C3为任意常数）。
现在取（C1,C2,C3）为（000），（100），（010），（001）可得②的四个解：β，α1+β，α2+β，α3+β。
请songsong_id 自己证明，这四个解是线性无关的（按定义直接证明）。有时也把①的任意（r+1）个（这里是四个）无关解叫①的基础解系。它的意思是：①的全部解都可以表示为这四个解的线性组合（可以验证:组合系数的和为1）。反过来，这四个解的任意线性组合，只要组合系数的和为1，都是①的解。（请songsong_id 自验以上结果）。
顺便说一句，这一说法通常只在数学系的线性代数课程中提到，其他专业不太熟悉是很自然的。
条件没有问题. 非齐次方程的解与对应的齐次方程的基础解系是线性无关的，也就是说非齐次方程Ax＝b的解向量组成的向量组的秩＝n－秩(A)＋1，n是未知数个数.记得同济版线性代数课后有相关的习题.
对于本题来说，秩(A)＝1时，Ax＝b就可以找到四个线性无关的解.
例如，A＝
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
向量b＝(1,0,0,0)T，T代表转置.
秩(A)＝1，Ax＝b有四个线性无关的解：
(1,0,0,0)T
(1,1,0,0)T
(1,0,1,0)T
(1,0,0,1)T
简单描述 学过线代应该能看懂
4个未知数 r=3
解=齐通+非齐特
齐只有3个解向量 即a1-a2,a2-a3,a3-a4是其中一个最大的无关组
题没错 但必须知道最多也只能找到4个无关解
若有5个 则a1-a2,a2-a3,a3-a4是其中一个最大的无关组 必能表示出a4-a5
即可用a1-a2,a2-a3,a3-a4与a4表示出a5 (故找不到第5个)
结论:
非齐次线性无关的解的个数=r+1 你这题应该只能r=3了