P是圆O外一点，PA，PB分别与圆O切于点A.B点C是AB弧上任意一点，经过点C做圆O的切线

*引理：切线长定理：
过定圆外一点向定圆引两条切线，则这两条切线长相等。
*引理的证明：运用三角形全等证明，证法略。

根据切线长定理，我们有：DC = DA , DE = BE ；
那么，由以下两组三角形全等：
三角形OAD全等于三角形OCD，三角形OCE全等于三角形OBE,
有：角AOD等于角COD，角COE等于角BOE,
则有角DOE的大小是角AOB的大小的一半；
而对于四边形PAOB，由切线性质知角PAO=角PBO=90度，
又：角APB=50度，四边形内角和为360度，
有：角AOB=360度-90度-90度-50度=130度，
故：角DOE=0.5*角AOB=65度。

证明：反复应用切线定理
因为DC=DA，OA=OC，三角形AOD和三角形COD全等，故角AOD=角DOC；
同理 OE平分角COB，故角DOE=角AOB/2；
又由角AOB=180-50=130；
故角DOE=65.
得证。