设三角形的三边长分别为3、4、5，P是三角形内的一点，求P到此三角形三边距离乘机的最大值

我们设P到3、4、5三边的距离分别是x、y、z，从P点连接3个顶点，那么有三角形的面积S是：
S=(3x+4y+5z)/2
同时，S=3*4/2，所以有：
3x+4y+5z=12

而3x+4y+5z>=3*（3x*4y*5z)^(1/3)
即60xyz<=(3x+4y+5z)^3=(12/3)^3=64
即：xyz<=64/60=16/15
所以P到此三角形三边距离的积的最大值是16/15

设到三边的距离分别为h1,h2,h3,连结P和三个顶点，则由三角形面积的计算有3h1+4h2+5h3=12，（直角三角形）。3h1+4h2+5h3>=3*[(3h1*4h2*5h3)开三次方],所以(3*4*5)*h1*h2*h3<=64(4的3次方)，故h1*h2*h3最大值16/15