数学抛物线的题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 06:29:02
已知A,B,C是抛物线y^2=2px上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB,AC分别与抛物线的轴交于D,E两点，求证：抛物线的顶点平分线段DE。

最好是用参数方程解。

抛物线参数方程为y=t，x=t^2/2p
设B(t1^2/2p,t1),C(t1^2/2p,-t1),A(t2^2/2p,t2)
所以求得AC的直线方程为
y-t2=(t2-t1)(x-t2^2/2p)/((t2^2/2p)-(t1^2/2p))
化简y-t2=2p(x-t2^2/2p)/(t1+t2)
同理求得直线AB方程为
y-t2=2p(x-t2^2/2p)/(t2-t1)
所以可以求出AB、AC与x轴即抛物线轴交点
D（-t1t2/2p,0）、E(t1t2/2p,0)
所以，抛物线的顶点平分线段DE