求解微分方程 xdx-ydy=yx^2dy-xy^2dx

你可能就一个小技巧没想到。

先两边都除以dx。

x - y(dy/dx) = x^2 * y(dy/dx) - x * y^2

y(dy/dx)让人想到换元。

令 1/2 * y^2 = t.
那么， dt/dx = y(dy/dx)

方程变为：
x - dt/dx = x^2 * dt/dx - 2xt

稍整理，

(1 + x^2) dt/dx - 2xt = x

dt/dx - t * 2x/(1 + x^2) = x/(1 + x^2)

是个很标准的 First Order Ordinary Differential Equation.
相信从这里开始你就会自己做了。