过点P(4,1)的直线l交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两不同点
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/08/22 09:38:40
过点P(4,1)的直线l交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两不同点,在线段AB上取点Q,满足AP*QB=AQ*PB,证明:Q总在某条定直线上。
注意:要求使用定比分点公式证明。
请速回答,快者额外给分
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证:设点Q坐标(Xq,Yq),点A坐标(Xa,Ya),点B坐标(Xb,Yb)
设过点P(4,1)直线l方程为y=k(x-4)+1,与椭圆方程x²/4 +y²/2=1联立消去y得:
(1+2k²)x²+(4k-16k²)x+32k²-16k-2=0
则Xa和Xb是此方程的两根,根据韦达定理,满足下列结论:
① Xa+Xb=(16k²-4k)/(1+2k²),
② Xa*Xb=(32k²-16k-2)/(1+2k²)
∵AP*QB=AQ*PB
∴PB/PA=QB/QA,设比值为w,w=(Xb-4)/(Xa-4)
则AB/PA=(PB-PA)/PA=w-1
根据定比分点公式,Xa=[Xb+(w-1)Xp]/(1+w-1)=(Xb+4w-4)/w
Xq=(Xb+wXa)/(1+w)
=(Xb+Xb+4w-4)/(1+w)
=2(Xb-4)/(1+w) +4
=2(Xb-4)/[1+ (Xb-4)/(Xa-4)] +4
=[2XaXb-8(Xa+Xb)+32]/(Xa+Xb-8) +4
代入①和②化简得:
Xq=4 - 7/(k+4)
由于Q点在直线l上,
∴Yq=k(Xq-4)+1=-7k/(k+4) +1=28/(k+4) -6
∴(Yq+6)/(Xq-4)=[28/(k+4)]/[-7/(k+4)]=-4
Yq=-4(Xq-4)-6=10-4Xq
所以Q点总在直线y=10-4x上
已知椭圆X^2/2+Y^2=1,过点P(1,0)作直线L,使得L与该椭圆交于A,B两点,L与Y轴交于Q点,
过点P(2,1)作直线l交x,y轴正半轴于A,B两点,当|PA|•|PB|取最小值时,求直线l的方程.
过x轴正半轴上一点P(m,0)作直线l交椭圆x^2/9+y^2/4=1与A、B两点,向量AP=2AB,求M的范围
经过点P(0,2)作直线l交椭圆C:x^2/2+y^2=1于AB两点,若三角形ABC的面积为2/3,求直线方程
过点P(-3,-4)作直线l,当l的斜率为何值时
过点P(2,1),作直线L分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A,B,
已知点P(6,4)和直线L1:y=4x,求过P的直线L
直线L过点P(-3,4)且与X轴负半轴、Y轴正半轴分别交于点a、b求三角形ab面积的最小值
直线L过点P(-2,1)8
直线L过点P(2,1)