过点P(4,1)的直线l交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两不同点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/08/22 09:38:40
过点P(4,1)的直线l交椭圆x^2/4+y^2/2=1于A,B两不同点，在线段AB上取点Q，满足AP*QB=AQ*PB，证明：Q总在某条定直线上。

注意：要求使用定比分点公式证明。
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证：设点Q坐标(Xq,Yq),点A坐标(Xa,Ya)，点B坐标(Xb,Yb)
设过点P(4,1)直线l方程为y=k(x-4)+1,与椭圆方程x²/4 +y²/2=1联立消去y得：
(1+2k²)x²+(4k-16k²)x+32k²-16k-2=0
则Xa和Xb是此方程的两根，根据韦达定理，满足下列结论：
① Xa+Xb=(16k²-4k)/(1+2k²),
② Xa*Xb=(32k²-16k-2)/(1+2k²)
∵AP*QB=AQ*PB
∴PB/PA=QB/QA,设比值为w,w=(Xb-4)/(Xa-4)
则AB/PA=(PB-PA)/PA=w-1
根据定比分点公式，Xa=[Xb+(w-1)Xp]/(1+w-1)=(Xb+4w-4)/w
Xq=(Xb+wXa)/(1+w)
=(Xb+Xb+4w-4)/(1+w)
=2(Xb-4)/(1+w) +4
=2(Xb-4)/[1+ (Xb-4)/(Xa-4)] +4
=[2XaXb-8(Xa+Xb)+32]/(Xa+Xb-8) +4
代入①和②化简得：
Xq=4 - 7/(k+4)
由于Q点在直线l上，
∴Yq=k(Xq-4)+1=-7k/(k+4) +1=28/(k+4) -6
∴(Yq+6)/(Xq-4)=[28/(k+4)]/[-7/(k+4)]=-4
Yq=-4(Xq-4)-6=10-4Xq
所以Q点总在直线y=10-4x上