抛物线经典问题

焦点(1,0)
所以若弦斜率不存在,是x=1
则A(1,2),B(1,-2), 中点(1,0),
到x-y=0距离=|1-0|/√2=√2/2

若斜率存在
y=k(x-1)
y^2=4x
k^2(x-1)^2=4x
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1+x2=(2k^2+4)/k^2
y1+y2=(kx1-k)+(kx2-k)=k(x1+x)-2k=k*(2k^2+4)/k^2-2k=4/k
M坐标[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
所以M[(k^2+2)/k^2,2/k]
到x-y=0距离=|(k^2+2)/k^2-2/k|/√2=|(k^2-2k+2)/k^2|/√2

令a=(k^2-2k+2)/k^2
ak^2=k^2-2k+2
(1-a)k^2-2k+2=0
这个关于k的方程有解则判别式大于等于0
4-8(1-a)>=0
8a>=4
a>=1/2
(k^2-2k+2)/k^2>=1/2
所以到x-y=0距离>=|1/2|/√2=√2/4

综上
最小距离=√2/4

关键是直线的斜率可能不存在