怎么证明反对称矩阵是幂零矩阵？

结论根本就是错的。只有1阶反对称阵肯定是幂零阵。
反对称矩阵的特征值都是0或者纯虚数，只要有一个非零特征值及不会是幂零阵。
举个2阶的反例
0 1
-1 0
高阶的在后面继续补零。

设A为反对称矩阵 AT=-A
A*AT=AT*A
所以A为正规矩阵 可对角化
A=B^-1CB B为正交矩阵 C为对角阵
A^2=B^-1CBB^-1CB=B^-1C^2B=BTC^2B.......(1)
A*AT=B^-1CBBTCTBT^-1=B^-1C^2BT^-1=BTC^2B..(2)
A*AT=A*(-A)=-A^2
带入(1) (2)
BTC^2B=-BTC^2B BT B可逆
所以C^2=-C^2
所以C的特征值全为0 所以A的特征值全为0
所以A为幂零矩阵

个人见解 可能不是这么简单能证明的

用定义证明好了。证明乘积的每一个元素都是0。