如图，已知点P(2m-1，6m-5)在第一象限角平分线OC上，一直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点B点。

我喜欢做难题
点P(2m-1，6m-5)在第一象限角平分线OC上,说明,X=Y,有
2m-1=6m-5,m=1.
则2m-1=1,6m-5=1,
点P的坐标为(1,1).

(2)当∠APB绕着P点旋转时，OA+OB的长一定发生变化,
其变化范围为:(√2+√3-1)≤OA+OB≤(√2+√3+1),
理由是:
当点B落在OP的连线上时,OB为最短,在OP的延长线上时,OB最长,则求出最长和最短时,OB+OA的长,就是其变化范围啰,
利用直角三角形原理可求,
OP=√2,
OB为最短=OP-1=√2-1,此时OA=√3.
(OA+OB)最小=(√2+√3-1),
同理(OA+OB)最大=(√2+√3+1).

2.
如图
过点P作x、y轴的垂线，垂足分别为E、F
则，PE=PF=1
所以，四边形PEOF为正方形
所以，∠EPF=90°
已知∠APB=90°
所以，∠APE=∠BPF=90°-∠EPB
又∠PEA=∠PFB=90°
所以，Rt△PEA≌Rt△PFB(ASA)
所以，AE=BF
那么，OA+OB=(OE+AE)+OB=OE+BF+OB=OE+OF=1+1=2
即，OA+OB长度保持2不变。