已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边距离等于这条边所对的边的一半。（用解析法证明

画个图用几何方法证明会比较简单点。

要解析法的话，如下：

在直角坐标系取一点K(m,n)，以r为半径作圆（r^2>m^2+n^2）,交坐标轴于ABCD四点，则AC⊥BD.

圆方程为：(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
y轴截距：y=n±√(r^2-m^2)
x轴截距：x=m±√(r^2-n^2)

取2截距点：x=m+√(r^2-n^2),y=n+√(r^2-m^2)为AB点
AB^2=(m+√(r^2-n^2))^2+(n+√(r^2-m^2))^2

CD点为x=m-√(r^2-n^2),y=n-√(r^2-m^2)
CD中点E坐标为(m-√(r^2-n^2))/2,(n-√(r^2-m^2))/2
圆心K到中点距离h^2=(m-xe)^2+(n-ye)^2
=(m+√(r^2-n^2))^2/4+(n+√(r^2-m^2))/4

所以h^2=AB^2/4
所以h=AB/2

故得证。

设四边形ABCD内接于圆O,AC⊥BD.
∴弧AB＋弧CD＝180°，从而∠AOB+∠COD＝180°.
设E为AB的中点。F为DC的中点。
则∠DOF＋∠AOE＝180°/2＝90°.
∴∠FDO＝∠EOA.（＝90°－∠FOD）
又OA＝OD.∴⊿DFO≌⊿OEA.（a,a,s）
∴OF＝AE＝（1/2）AB.
OE＝DF＝（1/2）CD.

就是反反复复的证明相似 设这个内接四边形是ABCD 连接AC、BD
交与E、设内接圆圆心是 o 连接OA、OD。过O做OG垂直于AD交AD于G
可证明三角形CED相似于三角形OGA 所以OG\CE=AG\DE
又可证明三角形CEA相似于三角形DEA 所以 DE\CE=DA\CB
所以有 OG*DA=AG*CB
因为AG=AD\2 所以 OG=2\BC