过一点P(1.1)且与双曲线x²-（1/4）y²=1

一楼的纯粹扯淡
的确是四条，不过不全是切点：有两个是切点，有两个只是交点并不相切。而且这四个公共点都是在双曲线的右支。
有两种方法可以知道，第一是画图法：
首先你要画出双曲线的基本图像，包括渐近线和顶点，然后发现点P在双曲线的外部。当过P点的直线与两条渐近线之一平行时，和双曲线的右支只有一个交点，和左支没有交点（从图上可以看到，在第二、三象限始终与渐近线保持一定距离，既然渐近线和双曲线没有交点，这条直线就更没有交点了）
然后过P点还可以有两条切线与双曲线的右支相切，而这两条切线在第二、三象限是越来越远离渐近线的，所以和双曲线的左支没有交点。当然，过P点也有两条切线与双曲线左支相切，但是这两条切线在第一、四象限都和双曲线的右支有交点。
第二是解析法：设直线方程为y=k(x-1)+1,与双曲线联立消去y
得到的方程(k²-4)x²-2k(k-1)x+k²-2k+5=0
当k²-4=0，即k=±2时，方程变成一元一次方程一定有唯一解；
当k²-4≠0时，△=[2k(k-1)²-4(k²-4)(k²-2k+5)=16(5-2k)=0，解得k=2.5
另外，当k为无限大时，即直线垂直与x轴时，直线方程为x=1,和双曲线联立也有唯一解。所以一共有四条直线与双曲线有唯一公共点。

的确是4条啊.
这个你画下图定性的看下就明白了,不需要定量计算的.
根据双曲线公式x^2-（1/4）y^2=1,可以知道这个双曲线是相对于y轴对称,且经过(1,0)和(-1,0),那么经过(1,1)点与双曲线相切的直线就应该有四条,切点分别在四个象限,其中一二象限的在无穷远出,三四象限的大概在较靠近(1,0)和(-1,0),而且四个切点是相对于y轴对称的.
你画个简图就能明白了,呵呵.