一到高中数学题，证明：1/2<[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+[1/(n+3)]+...+[1/(2n-1)]+[1/2n]<3/4

n>=2时，[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+[1/(n+3)]+...+[1/(2n-1)]+[1/2n]
>[1/(2n)]+[1/(2n)]+[1/(2n)]+...+[1/(2n)]+[1/2n]=n/(2n)=1/2
又[1/(n+i)]+[1/(2n-i+1)]=(3n+1)/[(n+i)(2n-i+1)]
=(3n+1)/(2n^2+n+in-i^2+i))<(3n+1)/(2n^2+n+i))
=(3/2n)[(1+1/(3n))/(1+(n+i)/(2n^2))]<3/(2n)
因为 1/(3n)<(n+i)/(2n^2)故(1+1/(3n))/(1+(n+i)/(2n^2))<1.
于是，2*{[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+[1/(n+3)]+...+[1/(2n-1)]+[1/2n]}
=[1/(n+1)]+[1/2n]+[1/(n+2)]+[1/(2n-1)]+...+[1/(n+i)]+[1/(2n-i+1)]
+...+[1/2n]+[1/(n+1)]
<[3/(2n)]+...(n项)...+[3/(2n)]=3/2
所以，[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+[1/(n+3)]+...+[1/(2n-1)]+[1/2n]<3/4
这就证明了：1/2<[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+...+[1/(2n-1)]+[1/2n]<3/4。
这类问题的估计与求1+2+3+...+n的和的方法类似。

放缩法 1/(n+1)<1/n<1/(n-1) 这样可以

用调和级数，设此数列[1/(n+1)]+[1/(n+2)]+[1/(n+3)]+...+[1/(2n-1)]+[1/2n]为Sn，则根据不等式原理有（n/2n）<Sn ，1/2<Sn得证。接着用数学归纳法证明Sn<3/4,当n=1时显然成立。当n=k时假设数列Sk<3/4，当n=k+1时，数列Sk+1=Sk+(1/2k+1)+(1/2k+2)-(1/k+1)=1/[(2k+1)(2k+2)]根据极限1/[(2k+1)(2k