若∠BAC=90度，△ABC的面积为S，求证：S=AE乘BD

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/20 07:25:29
如图所示，D。E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD和ACD的周长相等，△CAE与△CBE周长相等。设BC=a，AC=b,AB=c
1、求AE和BD的长
2、若∠BAC=90度，△ABC的面积为S，求证：S=AE乘BD

1.△ABD和ACD的周长相等，AD是公共边，因此 b+CD=BD+c 而 CD+BD=a ，得：
BD=(a+b-c)/2 ......(1)
同理，可得：
AE=(a+c-b)/2 ......(2)

2.由(1),(2)，BD*AE=(a^2-(b-c)^2)/4 ......(3)
因为 ∠BAC=90度，所以有勾股定理:
a^2=b^2+c^2 ......(4)
并且 s=b*c/2 ......(5)
(4)代入(3)中，化简即得：
BD*AE=b*c/2=s ......(6)
证毕。

1:，△ABD和ACD的周长相等--->AB+BD+AD=AC+DC+AD--->C+BD=b+(BC-BD)-->BD=(a+b-c)/2
同上AE=（A+C-B）/2