求余数定理的证明

余数定理
n次多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a,商式是n-1次多项式g(x),余式是0次多项式,即常数r.
被除式,除式,商式,余式之间有如下关系:
f(x)=(x-a)g(x)+r.
这是一个恒等式,x=a时,就得到f(a)=r.
如果f(a)=0,则r=0,f(x)=(x-a)g(x),f(x)可以被(x-a)整除,这在解方程和分解因式时很有用.

余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式 除以 所得的余数等于 。
略证：设 f(x)=Q(x)*(x-a)+R
将x=a代入得 f(a)=Q(a)*(a-a)+R=R。

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综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。
一、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式 除以除式 得商式 及余式 时，就有下列等式：
。
其中 的次数小于 的次数，或者 。当 时，就是 能被 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求 除以 所得的商和余式。
解：
∴ 的商是 ，余式是8。
上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同
-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，
同0相加，得到商的第三项的