N个奥数题

设N是大于一的正整数,求证:N的四次方+4是合数.
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已知以下方程组有解,求K的值.
X+(1+K)Y=0

(1-K)X+KY=1+K

(1+K)X+(12-K)Y=-(1=K)
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某商场如果将进货单价为8元的商品,按每件12元卖出,每天可销售出400件,根据经验,若每件每少卖1元,则每天可多卖出200件,问每件应减少多少元才可获得最好的效益?

TANKS FOR YOU ANSWER!

一、N是大于1的正整数，记N=k+1(k为自然数)，则：
(N)^4+4
=(k+1)^4+4
=(k^4+4k^3+6k^2+4k+1)+4
=(k^2+1)(k^2+4k+5)
所以N^4+4必定有大于1的整数因子(k^2+1)和(k^2+4k+5)，所以N^4+4是合数。

二、方程组有解。
X+(1+K)Y=0
(1-K)X+KY=1+K
(1+K)X+(12-K)Y=-(1+K)——这个是-(1+k)？？
解得：k=5；x=-36/29；y=6/29
或k=-1；x=y=0

三、某商场如果将进货单价为8元的商品,按每件12元卖出,每天可销售出400件,根据经验,若每件每少卖1元,则每天可多卖出200件,问每件应减少多少元才可获得最好的效益?

设减少x元的利润为y元；
Y=(12-8-x)(200x+400)= 200(4-x)(x+2)=200(-x^2+2x+8)= 200(-(x-1)^2+9)
当x=3时，y取得最大值200×9
所以应该减少1元才可获得最好的效益。

1
n^4+4n²+4-4n²=(n²+2)²-4n²=（n²-2n+2)(n²+2n+2)

2
1=k???

3
设应该减少x元,效益为y元

y=(12-8-x)*(400+200x)=200(4-x)(2+x)

当x=1时,y有最大值

所以应该每件减1元

一，N*4绝对为合数，4又是合数，合数+合数还是合数， 二， 不会了 三 ， 应该减少（400-0）/2=200元，这样赚最多

1
n^4+4n²+4-4n²=(n²+2)²-4n²=（n²-2n+2)(n²+2n+2)

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