~3+2~3+3~3+…+n~3公式的导出

证明的话可以用归纳法。
推导的话，∑n^2是用∑n推导的，∑n^3是用∑n^2推导的，类推～
1^3+2^3+……+n^3=∑n^3＝n^2(n+1)^2/4

推导过程如下：
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1

2^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1
……
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1

N个等式相加得：
(∑(n+1)^4)=∑n^4+4×∑n^3+6×∑n^2＋4×∑n＋n 【1~n】
(n+1)^4-1=4×∑n^3+6×∑n^2＋4×∑n＋n 【1~n】

运用：∑n^2=n(n+1)(2n+1)/6；∑n＝n(n+1)/2
(n+1)^4-1=4×∑n^3+n(n+1)(2n+1)＋2n(n+1)+n
4×∑n^3=(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n-1=n^2(n^2+2n+1)
所以：1^3+2^3+……+n^3=∑n^3＝n^2(n+1)^2/4

原式=(2+3+......+n)-3n
=(1+n)*n/2 - 3n -1
=(n^2 - 5n - 2 )/2

g gw

用数学归纳法

设1^3+2^3+......n^3=[n(n+1)/2]^2 成立
则1^3+2^3+......n^3+(n+1)^3=[n(n+1)/2]^2+ (n+1)^3
=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4
又因为[(n+1)(n+1+1)/2]^2=(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)/4
所以 1^3+2^3+......n^3+(n+1)^3=[n(n+1)/2]^2+ (n+1)^3＝[(n+1)(n+1+1)/2]^2
所以1^3+2^3+......n^3=[n(n+1)/2]^2 成立

数学归纳法。步骤如