I'II go shopping with you if I ____free tomorrow.

am

因为有if 所以这句是主将从现 主句是将来时 从句就是现在时 所以用am

应该是am
if引导的状语从句 主句将来时 从句用一般现在时表示将来时

选择'am',
该句考察学生对条件状语从句的应用与掌握能力，
在条件状语中，
当主句使用了一般将来时，
则从句应选择一般现在时代替将来时，
因此本题应选‘am'。