UC知道数学函数题及
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 03:21:47
已知函数f（x）的定义域为[0,1],且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0,1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-2.
1) 求函数f（x）的最大值和最小值；
2) 比较f（1/2^n）与1/2^n+2的大小=；
3) 当x=1/2^n(n∈N)时，有f（x）<2x+2，猜想：对一切x∈（0，1],都有f(x)<2x+2,该猜想是否正确，试证明。
1) 求函数f（x）的最大值和最小值；
2) 比较f（1/2^n）与1/2^n+2的大小=；
3) 当x=1/2^n(n∈N)时，有f（x）<2x+2，猜想：对一切x∈（0，1],都有f(x)<2x+2,该猜想是否正确，试证明。
解：
1）由题中条件3可知x1+x2>=x1,f(x1+x2)-f(x1)>=f(x2)-2,又因为f(x2)-2>=0,所以f(x1+x2)-f(x1)>=0,故f(x)在[0,1]上递增，在条件3中带入x1=x2=0,可得f(0)<=2,故f(x)的最小值为2，最大值为3.
2）由于1/2^n<=1,设x1+x2=1/2^n,则f(1/2^n)-2>=f(x1)+f(x2)>=4>1/2^n,故f(1/2^n)始终大于1/2^n+2.
3)由上一问知f(1/2^n)>1/2^n+2,则2x+2>1/2^n+2,即2x>1/2^n,但若对一切x，如x=1/2,则1/2>1/2,显然不成立，故猜想不正确。