I busy doing homework.busy后一定要加ing么

不是I busy doing而是I am busy doing，这个am省略就错了。

ing不能省，原因很简单，因为英语简单句里只能有一个谓语动词，既然am是be动词了，自然do要变成分词，不然就两个谓语动词产生冲突了。

I am busy doing homework.
be busy (in) doing 其实省略了介词in 介词后＋动名词

必须加，因为是busy in doing的省略。另外可以说
be busy with sth.

be busy in(可省略) doing sth 忙于干某事。
这是个固定句式

一定，应该是i'm busy doing或with sth

是！