困扰整个元旦假期的几何难题，高手帮助

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 00:41:55
已知MN是圆O的直径，弦MA、NB相交于圆内一点C，分别过M、N作作圆的切线，两条切线交于点D，连接CD
求证：CD⊥MN
放假时老师布置了三个难题，只解出一个，还有两个没有办法，先请大家帮助看看这道题，另外的难题等分数有了200以上再悬赏，采纳时再加50，说话算数。

抱歉，应该是“分别过A、B作圆的切线”

此题对初中生来说的确有点难度
图形请参考：
http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/acaa5ece9118123af9dc611b.html

证明：
连接MB、NA并延长MB、NA交于点E，连接EC并延长交MN于Q，过A作切线交CE于P
因为MN是直径
所以AM⊥EN，BN⊥ME，即AM、BN是△EMN的两条高
所以∠ACE＋∠AEC＝90°，即∠NEQ＋∠ACP＝90°
根据“三角形三条高交于一点”的性质知EQ也是△EMN的高，即EQ⊥MN
所以∠NEQ＋∠ENM＝90°
所以∠ACP＝∠ENM
因为AP是切线
所以∠PAM＝∠ENM，即∠PAC＝∠ENM
所以∠ACP＝∠PAC
所以PC＝PA
因为∠PAE＋∠PAC＝90°，即∠PEA＋∠PCA＝90°
所以∠PAE＝∠PEA
所以PA＝PE
所以P是CE的中点
同样地，如果过B作圆的切线交CE于点H，可以证明H也是CE的中点
即过A、B所作圆的切线都经过CE的中点
所以点D就是CE的中点，即点D在EQ上
因为EQ⊥MN
所以CD⊥MN
（如果要知道如何证明三角形性质：“三角形三条高交于一点”，请参考：
http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/f6849e7fafcc1c3f0cd7da88.html）

江苏吴云超祝你新年快乐

想答难题也