关于矩阵的可逆,急!!!!!!!!!!!!
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/28 14:21:30
已知A是斜对称矩阵,即A的转置=-A
证明I+A是可逆矩阵
证明I+A是可逆矩阵
实矩阵A.
A'=-A,
A+I的特征值 = A的特征值 + 1.
若A+I奇异,
则,-1必为A的特征值,
因此,一定存在非零向量x,使得,
Ax = -x.
所以,
x'Ax = -x'x ...(1)
又,
x'Ax = (x'Ax)' = x'A'x = - x'Ax,
所以,
2x'Ax = 0,
x'Ax = 0. ...(2),
由(1),(2)知,
-x'x = x'Ax = 0.
与x为非零向量矛盾。
因此,
A没有等于-1的特征值,
A+I可逆。
另外,
A与-A特征值相同.而A与-A特征值必然互为相反数
不能直接推出,特征值必然为0或纯虚数(共轭)。
只能得出结论,若A的实特征值为a(1),a(2),...,a(n),
且,
a(1) <= a(2) <= ... <= a(n).
则,必有,
a(1) = -a(n),a(2) = -a(n-1), ...,a(k) = -a(n-k+1),...
比如,若A的特征值为1,-1。
则,-A的特征值也为1,-1。
而且,1与-1互为相反数。
满足A与-A特征值相同.而A与-A特征值必然互为相反数的所有条件。
但得不出,特征值必然为0或 纯虚数(共轭)的结论。
只能得出,
A的特征多项式只有偶次幂的结论。
不能得出,
A的特征多项式没有非零实根的结论。
实际上,要证明A没有非零的实特征值。可以这样,
若A有非零实特征根a,则必存在非零特征向量y,使得,
Ay = ay ...(3)