G为11阶群，e为G单位元,证明G除自身和{e}外没有其他子群G为循环群!

任取异于单位元的元素g属于G，考察e, g, g^2, g^3, ..., g^10这11个对象，若他们中间有两个相等，g^a = g^b且a<b，则g^(b-a)=e。那么e, g, g^2, ..., g^(b-a-1)这b-a个对象构成一个子群，与假设矛盾。所以上面11个对象互不相等，他们就是G的全部成员。这说明G由g生成，是一个循环群。

注意11是无关紧要。