旋转体体积的基本思路

求由曲线 y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转的旋转体体积：

为求它的体积，我们采用微元法，首先建立微分表达式：
在[a,b]中任取[x,x+dx]，将旋转体中相应的厚度为dx的薄片体积，近似地用一个底面积为π[f(x)]^2，高为dx的圆柱体代替，则可得积分表达式为 dV = π[f(x)]^2 dx；然后，将dV在[a,b]上“加起来”，即得旋转体的体积为 V = ∫[a,b] π[f(x)]^2 dx

类似地，可得：
由曲线 x=g(y)，y=a，y=b以及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转的旋转体体积为 V = ∫[a,b] π[g(y)]^2 dy

注：∫[a,b]表示以a为下限，b为上限的定积分。

曲线y=f(x)围绕x轴旋转的旋转体体积V=π∫[f(x)]^2dx
曲线x=g(y)围绕y轴旋转的旋转体体积V=π∫[g(y)]^2dy