初三全等三角形问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/28 15:57:59
见图[1]，角BCD=90°，角ABC=60°，AD平分角BAC，CE平分角BCA，证明：EF=CD
见图[2]，角ABC=60°，AD平分角BAC，CE平分角BCA，证明：EF=CD

见图[3]，角CBA=90°，B，A，D共线，三角形ABC和三角形ADE全等，BF平分角CBA，角BFD=90°，问：CE，BF的关系（位置，长度）

图一中应是角BCA=90度,可证明EF=FD，若像你写的题目那样，则必有FD=CD，必有角DFC=角DCF
而由题目易得角DFC=角FAC+角FCA=60度，角DCF=1/2*角BCA=45度，两角显然不等
因而证明结论必然错误，应证EF=FD，像第二题一样。
以下为我两三分钟内现做的证明过程
证：在AC上取一点G，使角AFG=角AFE
因为角EAC=30度，角ECA=1/2*角BCA=45度
所以角AEC=180度-角EAC-角ECA=105度
在三角形AFE和三角形AFG中
角AFE=角AFG
FA=FA
角EAF=角GAF
所以三角形AFE和三角形AFG全等
EF=GF
角AEF=角FGA=105度
角FGA与FGC互为补角，
因此角FGC=75度
因为AD平分角BAC（角BAC=90度-角ABC=30度）
所以角BAC=15度
角ADC=90度-角DAC=75度
所以角ADC=角FGC。
在三角形DFC和三角形GFC中
角FDC=角FGC
角DFC=角GFC
FC=FC
所以三角形DFC和三角形GFC全等
因此FD=GF
因为之前已得出EF=GF
所以FD=EF

图二中应是EF=FD
在AC上取一点G。使角AFG=60度
因为AD平分角BAC，CE平分角BCA
所以角FAC+角FCA=1/2*（角BAC+角DCA）=1/2*（180度-角ABC）=60度
因为三角形内角和为180度
三角形AFC中：角AFC=120度
在三角形AFG和三角形AEF中
角AFE=角AFG
FA=FA
角EAF=角GAF
所以三角形AFG和三角形AEF全等
同理，因为角GFC=角DFC
由角边角的判定可知三角形GFC和三角形DFC全等
因此EF=FG=FD。
EF=FD
由此可知若题目没有打错，则满足EF=CD
的条件还需有FD