在等边△ABC中

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 10:04:00
P为△内任意一点，PD垂直BC于D，PE垂直AC于E，PF垂直AB于F，AB=a

求证：PD+PE+PF为定值，求该定值

根号三a

连结AP，BP，CP，则等边三角形ABC由三个小三角形组成
设等边三角形的边长是a，面积是S，则有
S=S(ABP)+S(BCP)+S(CAP)
=(1/2)×AB×PD+(1/2)×BC×PE+(1/2)×CA×PF
=(a/2)×PD+(a/2)×PE+(a/2)×PF
=(a/2)×(PD+PE+PF)
所以PD+PE+PF=2S/a ,S=(根号3/4)a^2
因为S，a都与P的位置无关
所以PD+PE+PF=定值 =(根号3/2)a