UC知道数学高考难题请教！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/20 19:27:05
已知集合A＝｛a1，a2，……，ak｝（k≥2），其中ai∈Z（i＝1，2，……，k），由A中的元素构成两个相应的集合S＝｛（a，b）｜a∈A，b∈A，a＋b∈A｝；T＝｛（a，b）｜a∈A，b∈A，a－b∈A｝，其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．
若对于任意的a∈A，总有－a不属于A，则称集合A具有性质P，
（1） 对任何具有性质P的集合A，证明n≤k（k－1）／2
（2） 判断m和n的大小关系，并证明你的结论。
请高手们证明过程尽量详细点，不然看不懂。谢谢！
(1)因A具有性质P，根据集合具有性质P的定义，有以下结论
在集合T中
0不属于A，
若a－b∈A，则b－a不属于A
所以T中元素是由A中两元素两两计算得到，且属于组合类型，总数为k（k－1）/2
又因集合中元素具有不可重复性且不一定所有的a－b都属于A，故n≤k（k－1）／2
(2)m<=n
设ai，aj，ak属于A
若ai+aj＝ak，
则ai不等于aj时，ak-ai＝aj，ak-aj＝ai
ai＝aj，ak-ai＝aj
故 m≤n
若ai-aj＝ak，则ai-ak＝aj，ak+aj＝ai
故 m<n
综合以上有 m≤n
(1)因为A具有性质P, 所以0不属于A
从A中任选1个元素x, 则x-x=0,不属于A
从A中任选2个不同的元素, 一共有k(k-1)/2中选法, 假设对于任意选择的xi,yi(不妨设xi>yi)都有xi－yi∈A, 则此k(k-1)/2个(xi,yi)组成了T.
此时n=k(k-1)/2, 但实际上对于任意选择的xi,yi, 不一定满足xi－yi∈A, 所以实际上n≤k(k-1)/2
(2)m<=n<=2m. 用我想到的办法, 打字说起来太累了, 放弃
矩阵原理啦
可以去搜到完整答案。。打太麻烦了
北京哪年的压轴题，第一问，因为要求数对有序且有性质P，所以（a,b）可以，则(b,a）不可，n最大时为T中随便选2个都符合要求，但顺序不可颠倒，所以是CK2（组合数）＝K(K-1)/2 所以n<=此最大值
第2问，M=N,答案比较复杂，我是这样理解的，对于S中任一对称元素（api,aqi），（aqi,api）这里i属于[1，m/2]
（即ap1,ap2...apm/2;aq1,aq2...aqm/2,加在一起正好m个，即代表S中所有元素，api,aqi属于A）总有aci＝api+aqi属于A，而相应的，在T中总有唯一的一组元素（aci,api)，（aci,aqi）与之对应，所以