f(x)=lg(1+2∧x+3∧x+...+(n-1)∧x+n∧xa)/n，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 22:50:42
其中a是实数，n 是任意给定的正自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞，1]时有意义，求a的取值范围

f(x)当x∈(-∞,1]时有意义
即当x∈(-∞,1]时
(1+2^x+3^x+...+a*n^x)/n>0恒成立
1+2^x+3^x+...+a*n^x>0
1+2^x+3^x+...+(n-1)^x>-a*n^x
-a<(1/n)^x+(2/n)^x+...+[(n-1)/n]^x恒成立
即-a小于(1/n)^x+(2/n)^x+...+[(n-1)/n]^x的最小值

令g(x)=(1/n)^x+(2/n)^x+...+[(n-1)/n]^x
由0<1/n<2/n<...<(n-1)/n<1
可知(1/n)^x,(2/n)^x,...,[(n-1)/n]^x在x∈(-∞,1]上单调递减
g(x)在x∈(-∞,1]上单调递减
最小值g(1)=1/n+2/n+...+(n-1)/n
=(1+2+..+n-1)/n
=[n(n-1)/2]/n
=(n-1)/2

即-a<(n-1)/2 a>-(n-1)/2