急求一道圆锥曲线求轨迹问题的详细解答

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 05:27:05
已知A,B是圆O:x^2+y^2=1上的动点，角AOB=120度，C（a,0）(a>=0,且a不等于0)是一个定点，当A在圆上运动时，求三角形ABC外接圆圆心M的轨迹方程，并讨论所表示的曲线类型与a的值的关系。

答：因为∠AOB=120°，则：AB=√3，则圆心到AB的距离d=1/2
设：三角形ABC的外接圆圆心是M(m，n)，则三角形的外接圆是：
(x－m)²＋(y－n)²=(m－a)²＋n² ---------------(1)
又：
x²＋y²=1 ------------------------------------------(2)
(1)与(2)相减，得公共弦AB所在的直线方程是：
2mx＋2ny=1＋2am－a²
圆心(0，0)到此直线的距离是d=1/2，则：
|1＋2am－a²|/√[4m²＋4n²]=1/2
|1＋2am－a²|=√(m²＋n²)
m²＋n²=(1＋2am－a²)²
则三角形ABC外接圆圆心的轨迹方程是：x²＋y²=(1＋2ax－a²