UC知道高二抛物线问题 （高二以上学历，请进！）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 01:10:59
题目：已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为根号15，求抛物线方程。
请给我具体一点的解答，谢谢！有满意答案的话，奖励50！
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设抛物线方程为 y^2=2px
联立y=2x+1 得4x^2+(4-2p)x+1=0 p>4或p<0
用韦达定理 x1+x2=(p-2)/2 xi*x2=1/4
所以（x1-x2)^2=(x1+x2)^2-1
弦长公式 根号下（1+k^2)(x1-x2)^2=根号下15
解得（x1-x2)^2=(x1+x2)^2-1=3
所以(x1+x2)^2=[(p-2)/2]^2=4
解得p=6或-2
y^2=12x或y^2=-4x
设y^2=2px
y=2x+1代入y^2=2px
(2x+1)^2=2px
4x^2+4x+1=2px
4x^2+(4-2p)x+1=0
由根与系数的关系
x1+x2=(2p-4)/4
x1*x2=1/4
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(2p-4)^2/16-1
=(4p^2-16p+16)/16-1
=(p^2-4p)/4
|AB|=√15
|AB|^2=15
(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=15
[y2-y1=(2x2+1)-(2x1+1)=2(x2-x1)]
5(x2-x1)^2=15
(p^2-4p)/4=3
p^2-4p-12=0
(p-6)(p+2)=0
p=6或p=-2
可知y^2=12x或y^2=-4x
上面的算法太麻烦了，对直线稍微变形下就可以大大减少计算量。。。
见图片。（点开最大化）
