高一数列解答题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/20 22:45:30
已知正项数列{An}的前n项和为Sn 方程x平方+4x-4Sn=0有一个根为An-1

（1）证明数列{An}为等差数列
（2）令Tn=1/S1+1/S2+......+1/Sn, 求Tn并比较Tn与3/4的大小.

4Sn=x^2+4x=x(x+4)=(an-1)*(an+3)
4S(n-1)=(a(n-1)-1)*(a(n-1)+3)
所以4an=4*Sn-4S(n-1)
=(an-1)(an+3)-(a(n-1)-1)*(a(n-1)+3)
整理得到an^2-2an=(a(n-1))^2+2a(n-1)
(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2
an-1=a(n-1)+1 （或an-1=-a(n-1)-1,an=-a(n-1)舍）
an=a(n-1)+2
所以为等差。
4a1=(a1-1)(a1+3)
a1^2+2a1-3-4a1=0
(a1+1)(a1-3)=0
a1=3
an=3+2(n-1)=2n+1
所以4Sn=x*(x+4)=2n*(2n+4)
Sn=n*(n+2)
所以1/Sn=1/(n(n+2))=1/2*(1/n-1/(n+2))
所以Tn=1/2*(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+1/5-1/7+......+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2))
=1/2*(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2))
=3/4-1/2*(1/(n+1)-1/(n+2))
<3/4