关于抛物线的问题 ，抛物线的对称轴的定点是否为焦点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 14:25:41
过抛物线Y^2=2PX的顶点o做两条相互垂直的弦OA和OB.求证AB交抛物线的对称轴于定点.怎样证明？

由题意得，设A（X1,Y1）,B(X2,Y2)
因为OA垂直OB,则OA向量点积OB向量等于零；
即X1*X2+Y1*Y2=0;
又因为A,B在抛物线上，所以Y1^2=2PX1;Y2^2=2PX2;
由以上三式得Y1*Y2=-4P^2;
(Y1-Y2)/(X1-X2)=2P/(Y1+Y2);
令AB直线方程为Y=KX+B;
将A,B代入方程
则K=(Y1-Y2)/(X1-X2)=2P/(Y1+Y2);
B=-(2PX-Y1^2-Y1*Y2)/(Y1+Y2);
令Y=0则X=-B/K=(2PX1-Y1^2-Y1*Y2)/2P=Y1*Y2/2P=-2P;
证毕

过定点（2p,0)证三点共线。