英语问题I didn't know you were so busy.

I didn't know you were so busy这是个that引导的宾语从句。我们知道，在宾语从句中如果主句的谓语动词用一般过去时，那么宾语从句的谓语动词就要用过去时的某种形式。所以宾语从句部分的谓语动词要用过去时。

...因为是过去时，所以后面的语态也只能是过去时~！如果用are，那么这句句子就是错的

不是两个过去时，这是一个整体的句子。
前面表示我不知道你如此之忙，后面要与前面保持一致，都代表过去 。

You were so busy 是that引导的宾语从句，当主句的时态是过去时时，从句也用过去的某种事态。