一道有关有理数的数学题

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
(3n-1)^3=27n^3-27n^2+9n-1

Sn=27*(1^3+2^3+..+n^3)-27*(1^2+2^+..+n^2)+9*(1+2+.+n)-n
其中：
1^3+2^3+..+n^3=[n*(n+1)/2]^2
1^2+2^2+..+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6
1+2+.....+n=n*(1+n)/2
代入，即可！

补充关于自然数列立方和公式的推导
即 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

补充关于平方和的推导：
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2