she'd like to start going to the gym and working out.为什么是working out 而不是work out?

and连接并列的成分，并列的成分要用相同的语法形式，前面going用的是-ing的形式，后面的work也要有同样的形式working。
以后要多注意连词，连词前后的动词形式或词性经常会有相同的形式，不管他们在文中相距多远，尤其是对复杂的，插入语较多的句子。
从你补充的来看，work out与going to the gym发生的时间不一样，但我们把
going to the gym and working out看成是一整件事，即she'd like to start的一件事，就比较好理解了。

她想要开始去健身房和工作了。
start going to
和
start working out
两个是一样的 都是跟在start后面的 用ING形式

start doing sth开始做某事，前面用going，有and连接，所以用working，也可看作是两个句子he'd like to start going to gym.he'd like to start workig out.

start的用法是start doing sth.所以用的going又因为后面用的and连接，and表并列，所以形式应该跟going一样用doing的形式working. 一般像这类题都这样解