双曲线习题一道求解～

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 08:16:19
双曲线的中心为原点O,焦点在X轴上,两条渐进线为L1,L2,经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1,L2于A,B两点,已知向量OA,AB,OB成等差数列,且向量BF,FA同向,(1)求双曲线离心率(2)设AB被双曲线所截得的线段长为4,求双曲线方程

首先纠正一下，应该是向量的模成等差数列吧。设方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
（1）∵FA⊥OA，∴OA:AB:OB=3:4:5，设OA=3k，过焦点的直线与渐近线垂直，垂足必落在准线上，这是结论，你可以自己证明。那么A的横坐标就是a^2/c，由射影定理得OA^2=a^2/c*OF，所以OA=3k=a，过焦点的直线方程为y=-(a/b)(x-c)，与L2方程：y=-bx/a联立得向量OB=(ca^2/(a^2-b^2)，-abc/(a^2-b^2))，再由OB=5k=5a/3得离心率e=√5/2.
（2）用常规方法，由直线y=-(a/b)(x-c)和双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1得方程c^2(b^2-a^2)x^2+2cxa^4-a^4*c^2-a^2*b^4=0，然后韦达定理配合刚刚求得的离心率，化简得x1+x2=32c/15，x1x2=16c^2/15+4/5，最后再用距离公式得√{(1+b^2/a^2)[32^2c^2/225-4(16c^2/15+4/5)]}=4，解出c=3√5。接下来的就简单了，由离心率得a=6，b=3，所以双曲线方程为x^2/36-y^2/9=1.
这种题没什么窍门，就是一个劲地算，我也是算了好久的，但注意别出错哦！