圆锥曲线的题目（采纳后追加50）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/01 22:15:54
1.已知定点A（-2，根号3），F是椭圆x∧2/16+y∧2/12=1的右焦点，在椭圆上求一点M，使∣AM∣+2∣MF∣取得最小值。
2.已知椭圆x∧2/a∧2+y∧2/b∧2=1(a＞b＞0)的长、短轴点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与向量OM是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e
（2）设Q是椭圆上任意一点，F1,F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围

采纳后追加50分，谢谢！

1、需要运用椭圆的第二定义
根据题意a=4,b=2根号3,c=2
所以e=2/4=1/2，
椭圆上的点M到F的距离：M到右准线的距离=e
过M作MH垂直右准线为H
又右准线为x=a^2/c=8
MF:MH=1/2
2∣MF∣= MH
所以∣AM∣+2∣MF∣=∣AM∣+∣MH∣
所以当A、M、H三点共线时，原式最小为10

2、（1）根据题意
M点的横坐标为-c
算出M点(-c,b^2/a) 取一个即可，只要对应的AB即可
因为向量AB与向量OM是共线向量
写出AB向量的对应值：(-a,b)
OM(-c,b^2/a)
所以-c*b=b^2/a*(-a)
b=c，a=根号2*c
所以e=c/a=(根号2)/2

（2）设F1Q为x，所以QF2为2a-x
根据余弦定理
cos∠F1QF2=（x^2+(2a-x)^2-(2c)^2）/（2x(2a-x)）
化简求出最值
这里直接告诉你一个结论，椭圆上一点与两个焦点连线的夹角，在短轴端点取到最大值
当x=根号2c时，∠F1QF2最大为90度
所以∠F1QF2的取值范围为0到90的前开后闭区间