设P为椭圆上一点,F1,F2是该椭圆的两个焦点

sin∠PF1F2=sin2α，sin∠PF2F1=sinα,sin∠F1PF2=sin(π-α-2α)=sin3α
设半焦距为c,半长轴为a
△PF1F2中，根据正弦定理：|PF1|/sinα=|PF2|/sin2α=|F1F2|/sin3α
∴|PF1|=2c*sinα/sin3α,|PF2|=2c*sin2α/sin3α
根据椭圆第二定义，2a=|PF1|+|PF2|=2c*(sinα+sin2α)/sin3α
∴e=c/a=sin3α/(sinα+sin2α)=(3sinα-4sin³α)/(sinα+2sinαcosα)
=(3-4sin²α)/(1+2cosα)
=(4-4sin²α-1)/(1+2cosα)
=(4cos²α-1)/(1+2cosα)
=(2cosα-1)（2cosα+1)/(1+2cosα)
=2cosα-1