半径为R的球的内接正四面体内有一内切球，球这两球的体积比

设正四面体为PABC，由于对称，两球球心重叠，设为O。
设正四面体为PABC的内切球半径为r。
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，其垂直于底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高。
设正四面体PABC底面面积为S。
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连结，可以得到4个全等的正三棱锥，体心为顶点，以正四面体面为底面。
每个正三棱锥体积V1=1/3*S*r
而正四面体PABC体积V2=1/3*S*（R+r）
根据前面的分析，4*V1=V2
所以，4*1/3*S*r=1/3*S*（R+r）
所以，R=3r
由于球体积公式为V=（4/3）лr^3
故正四面体外接球与内切球体积之比=3^3 = 27

半径为R,可以算出内接正四面体的棱长

通过等体积法算出内切球的半径

V=（4/3）лr^3
公元265年，继秦朝以后中国获得了第二次统一，魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。

可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了一百余年（北方则被分割成了16个小国）。此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。

在《隋书》里，记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限：3.1415926<л< 3.1415927，精确到小数点后第7位。这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破，后者算到了小