棱长为a的正四面体的内切球与外接球的半径及之比

设正四面体为PABC,设其外接球半径为R，内切球半径为r。由于对称，两球球心重叠，设为O。
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，其垂直于底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高。
设正四面体PABC底面面积为S。
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连结，可以得到4个全等的正三棱锥，体心为顶点，以正四面体面为底面。
每个正三棱锥体积V1=1/3*S*r
而正四面体PABC体积V2=1/3*S*（R+r）
根据前面的分析，4*V1=V2
所以，4*1/3*S*r=1/3*S*（R+r）
所以，r/R=1/3

描述：内外切球心是重合的，也就是正四面体的重心，也就是高线离底面最近的的那个四等分点，球心把高线分成的长短两段就是内外切球半径了，所以内外切球半径之比为1:3。