高一 定义在R上的单调函数f（x）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 01:48:41
定义在R上的单调函数f（x）满足f(3)=log2(3),且对任意x，y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)。若f(k*3^x)+f（3^x-9^x-2)＜0对任意x属于R恒成立，求实数k的取值范围

因为f(3)=f(0)+f(3)
所以f(0)=0
f(3)=log2(3)>f(0)=0
所以f(x)是增函数
f(k*3^x)+f（3^x-9^x-2)＜0
f(k*3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0)
所以k*3^x+3^x-9^x-2<0
即3^(2x)-(k+1)*3^x+2>0
因为f(k*3^x)+f（3^x-9^x-2)＜0对任意x属于R恒成立
所以3^(2x)-(k+1)*3^x+2>0对任意x属于R恒成立
即方程(3^x)^2-(k+1)*3^x+2=0的判别式<0
即(k+1)^2-8<0
-2√2-1<k<2√2-1

易知若x>0，f(x)>0
x=0,f(x)=0
f(k*3^x)+f（3^x-9^x-2)＜0
f(k*3^x+3^x-9^x-2)<0
令3^x=t>0
f(kt+t-t^2-2)<0
f(-t^2+(k+1)t-2)<0
（k+1)^2-8<0
(k+1)^2<8
-1-2*2^(1/2)<k<-1+2*2^(1/2)