向大家请教一个关于函数的值域问题。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/06 13:41:01
已知函数f(X)=(X*X+2X+a)/(X)，X属于{X|X大于或等于1}，当a=1/2时，求该函数的值域。

请打出（详细的解答思路）和（详细的过程），谢谢大家。

将f(x)看成以x为参数关于a的函数，g(a)=a/x+x+2。问题转化成为在自变量a∈[-1,1]范围内g(a)>4恒成立，求参数x的范围。若g(a)>0恒成立，则要求在[-1,1]内，g(a)min>0成立，问题转化为求函数的最小值问题。
对g(a)求导，g'(a)=1/x,由于x∈[1,+∞），因此g'(a)>0恒成立，g(a)为增函数，因此g(a)min=g(-1)=-1/x+x+2。
令-1/x+x+2>4，解得x<1-根号2或x>1+根号2，由已知条件x∈[1,+∞)，于是
x>1+根号2