三角形ABC，A在（4，2），B在X轴上。C在Y=X上 求周长最小值

解：设A（4，2）关于x轴的对称点为A'(4,-2)
则BA'=BA
设A（4，2）关于y=x的对称点为A”(2，4)
则CA”=CA
所以三角形ABC周长
=AB+BC+AC
=A'B+BC+CA”
≥A'A”
=√[(2-4)²+（4+2）²]
=2√10
即三角形ABC周长最小值2√10

作A关于X轴的对称点A'(4,-2),关于Y=X的对称点A''(2,4)
连接A'A''与X轴和Y=X的交点,即为B,C.
周长最小值=A'A''=根号[(4-2)^2+(-2-4)^2]=2根号10

设B(a,0) C(b,b)
分别作A点关于x轴和直线l:y=x为对称轴的对称点A1,A2
A1(4,-2) A2(2,4)
连接A1A2 分别与x轴和直线l:y=x交于B,C
易知 折线段A1BCA2长度即为三角形ABC周长的最小值
当C1ABC2四点共线时 周长取最小值 为根号[(2+4)^2+(4-2)^2]=根号40 =2倍根号10