高2一道双曲线问题，在线等。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/25 23:25:31
过双曲线（x^2/a^2）-（y^2/b^2）=1的左焦点F(-c,0)且斜率为-3/4的直线L与两条准线交与M、N两点，以MN为直径的圆过原点，且点（3，2）在双曲线上，求此双曲线的方程。

直线L方程：y=-0.75(x+c),与两条准线x=±a²/c联立解得M点坐标(-a²/c,-0.75b²/c),N点坐标{a²/c,-0.75(c²+a²)/c}
以MN为直径的圆过原点，所以OM⊥ON, Xm*Xn+Ym*Yn=0
(-a²/c)(a²/c)+(-0.75b²/c)[-0.75(c²+a²)/c]=0
整理得到：c^4=(25/9)a^4,∴c²=(5/3)a²,b²=(2/3)a²①
将点(3,2)坐标代入双曲线方程得：（9/a^2）-（4/b^2）=1 ②
①②联立解得：a²=3,b²=2
所以双曲线方程为x^2/3 - y^2/2 =1

（x^2/3）-（y^2/2）=1