设a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证：（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8

1/a-1 = (1-a)/a = (b+c)/a.
所以原式等于(b+c)/a*(c+a)/b*(a+b)/c
=(b+c)(c+a)(a+b)/(abc).
分子展开，原式
=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc)/(abc).
=(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)/(abc)+2
对a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2运用算术-几何平均值不等式，得
a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2>=6*(6次根号下(a2b*ab2*b2c*bc2*c2a*ca2))
=6abc.
即原式>=6+2=8.证毕。

（以上a2表示a的2此方)

a+b+c=1
1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a=b/a+c/a>=2根号(bc/a^2)
同理1/b-1=a/b+c/b>=2根号(ac/b^2)
1/c-1=a/c+b/c>=2根号(ab/c^2)
相乘(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=2^3*根号[(bc/a^2)(ac/b^2)(ab/c^2)]
根号内是1
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8