一道有趣的呃...数学题

有一个空的大水池(要多大有多大)；
它有一个进水口，每分钟进水10升；
还有一个出水口，每分钟出水5升；
有一个人在往池里撒盐，每分钟10克；
盐不影响水的体积，盐水也不会饱和；
假设三个动作同时开始，且都是匀速时，问：
池水的浓度怎么变化？
请各位给出详细的理由
对zxq111000:你的第一个表达式是什么意思？第一分钟就因该有部分盐随着水流失了哦，对吧？

一切操作变化都是均匀的理想情况,再要假设盐撒进水中立即融化均匀.

下面用微积分的方法列出微分方程求解:

假设:t=0时刻,水池中有S0升水,则t时刻的水量为:S(t)=S0+5t.
t时刻水中含盐量为y(t),则盐量的变化率为:dy/dt=10-(y/S)*5
代入S(t),化简得: y'+5*y/(S0+5*t)=10.

几年没接触微分方程了,让我偷点懒,假设开始水池中没有水,S0=0.
则方程化为: y'+y/t=10.

这个方程是非线性的,具体怎么求解,我还是不知道,我只通过观察得出了一个特解:y=5*t.
在微分方程的教材中,一般都有各种各样的求解一阶方程的方法,或许这个很简单吧.y=5*t正适合t=0时,y(0)=0的初始条件.

那么:盐水的浓度就是 y(t)/S(t)=5t/5t=1(克/升)

对解的讨论:

这个浓度是与时间无关的,也就是说,在假设初始时刻水池中没有水的条件下,盐水的浓度将永远是1克/升。

设想一下，每分钟出水5升，即出盐5克，每分钟撒盐10克，合计每分钟共增加了盐5克。而水量的变化，也是每分钟增加10-5=5升。增加的盐与增加的水正好保持了盐水的浓度保持在1克/升。还是平衡的。

另外，再进一步讨论，假设初始时刻水池中已经有水S0(>0)升了，那么，初始盐水浓度将小于1克/升，每分钟流出的水中所含的盐分将小于5克，浓度必将无限趋近于1克/升。
也就是说，若解出了方程的通解，若初始条件S0=0，浓度将是常数；若S0>0，从微分方程中求出的y(t)再除以S(t)，所得结果将是一个递增函数，无限地趋近于1(克/升)。

池水的浓度不会变化

设水体积为v,盐为x;

d v/d t=5 --> v=5t(体积的变化率是5升每分)
d x/d t=10-5x/v (盐的变化率是10g+每分钟流失的5升水中带走的盐分)
得到 dx/dt=10-x/t