证明能被11整除的数的特征

首先很感谢lca001的答案,比较正式!
我的方法是推理法,也就是野方法.

假设一个数为an...a0,乘以11,也就是错位相加,即
an...a1a0
+ an...a1a0

如果没有涉及到进位,则加出来的数互相隔位相减,得到
an-(an+an-1)+an-2+an-1+...=0,也就是说,如果没有进位的话,相减得0

现在来讨论有进位的情况
ak...
akak-1..
此时,ak+ak-1=10+n,于是在这个位上的数是n,多出的10进位为1,也就是说,在这个位上少了10,并且还给上位多提供了一个1,于是里外里少了11!所以两个位数的差仍为11的倍数,无论有多少种进位的情况,因为一个进位,就产生了11的差距.

这个土方法证明了,和11相乘的数,隔位相减之和仍为11的倍数.和隔位相减之和能被11整除不完全一样,所以我认为lca001的方法更贴切和正式

设一个十进制整数ana(n-1)...a2a1a0.其中a1表示个位数,a2表示十位数,等等,它代表的数是N=an*10^n+a(n-1)*10^(n-1)+...+a1*10+a0.
1=1(mod11),意思是1用11去除余数为1.
10=-1(mod11),意思是10用11去除余数为-1.
100=1(mod11),意思是100用11去除余数为1.
1000=-1(mod11),意思是1000用11去除余数为-1.
...
故得N=a0-a1+a3+...+(-1)^n*an(mod11)
意思是N用11去除,余数为a0-a1+a3+...+(-1)^n*an.即余数是由右向左,奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差,如果该数能被11整除,则N也能被11整除,否则不能被11整除.

能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.

设a1+10a2+100a