实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd大于1，求证a,b,c,d中至少有一个是负数

假设a,b,c,d都是非负数
a+b=c+d=1
1=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd>1+ad+bc (ac+bd>1)
a ,b,c,d 都是非负数, 则ad>=0 bc>=0
所以 1=(a+b)(c+d)>1
矛盾
所以 a , b, c,d至少有一个是负数

(1-b)c+(1-c)b=b+c-2bc>1
a(1-d)+d(1-a)=a+d-2ad>1
以上两个不等式相加，得
2-2bc-2ad>2则 bc+ad<0 (#)
假设abcd均>0 则与(#)矛盾.所以a,b,c,d中至少有一个是负数
--反证法--

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=1
由ac+bd=1-ad-bc>1可知ad+bc<0
假设a,b,c,d中无负数,则ad+bc≥0,与上式矛盾,故a,b,c,d中至少有一个是负数.

(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc=1
ac+bd=1-ad-bc>1
故ad+bc<0
若a,b,c,d中无负数，则ad+bc≥0,矛盾!因此a,b,c,d中至少有一个是负数