寻求帮助：一道高三的数学题，

1+2+3+4+.....+n=n(n+1)/2
原式=[1*2+2*3+……+N(N+1)]/2
=[(1+2+3+4+.....+N)+(1^2+2^2+.....+N^2)]/2
=[N(N+1)/2 +N(N+1)(2N+1)/6]/2=N(N+1)(N+2)/3

还有种方法是

n(n+1)=[n(n+1)（n+2）-（n-1)n(n+1)]/3
1*2=（1*2*3-0*1*2）/3
2*3=（2*3*4-1*2*3）/3
……

1+2+……+n=n(n+1)/2=1/2*(n^2+n)
所以原式=1/2*[(1^2+2^2+……+n^2)+(1+2+……+n)]
=1/2*[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]
=n(n+1)(n+2)/6

第一项：1＝1/2(1＋1^2)
第二项：1＋2＝1/2×6＝1/2(2＋2^2)
第三项：1＋2＋3＝1/2×12＝1/2(3＋3^2)
......
第n项：1＋2＋3＋...＋n＝1/2n(n＋1)＝1/2(n＋n^2)
因此：
Sn＝1/6n(n＋1)(2n＋1)＋1/2n(n＋1)＝...

=1*2*1/2+2*3*1/2+3*4*1/2+4*5*1/2+5*6*1/2+…N*(N+1)*1/2
=1/2*(1*2+2*3+3*4+4*5+5*6…+N*(N+1))
=1/2*(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+…+N^2+1+2+3+4+5+…+N)
=1/2*(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+…+N^2)+1/2*(1+2+3+4+5+…+N)
=1/2*1/6*N(N+1)(2N+1)+1/2*N(N+1)*1/2
=1/12*N(N+1)(2N+1)+1/4*N(N+1)
=1/12*N(N+1)(2N+4)
=1/6*N*(N+1)(N+2)

an=n(1+n)/2=(n^2+n)/2=n^2/2+n/2
Sn=(1^2+2^2+.....