三角形ABC中AD为角平分线AB=6,AC=4角BAC=60度,求AD长

AC/sinB=BC/sin60度
1/sinB=BC/(AC*sin60度)

AB/sinC=BC/sin60度
1/sinC=BC/(AB*sin60度)

BD/sin30度=AD/sinB
BD=AD/(2*sinB)

DC/sin30度=AD/sinC
DC=AD/(2*sinC)

所以:BC=BD+DC=(AD/2)(1/sinB+1/sinC)
=(AD/2)(BC/sin60度)(1/AC+1/AB)

AD=(2sin60度)AB*AC/(AB+AC)
=(12/5)(根号3)

用余弦定理
AD*AD=AB*AB+AC*AC-2AB*AC*COS<BAC=28
AD=2根号7

BC^2=AC^2+AB^2-2AC*ABcos120

BC=√28

过点D做AB边和AC边的垂线

交AB于E,交AC于F

三角形AED全等于三角形ADF
ED=DF
AD=2ED=2DF

三角形ADB的面积加三角形ADC的面积
ED*6*0.5+DF*4*0.5=BC*AD*0.5

AD=(4√7 +6)/19

作DE垂直AB
由余弦定理,
BC*BC=AB*AB+AC*AC-2AB*AC*COSBAC
则:BC==√28
由正弦正理:AC/SinABC=BC/Sin60度
SinABC= =√21/7 TanABC==√3/2

设AD=x,则:DE=x/2 AD==√3*x/2
BD==√3*x/4
AB=6,则 √3*x/2 + √3*x/4=6
求之,x=8√3/3

延长AD至E，使AD=DE，连结BE，BE与AC对应，等于6，AE的范围是2～10，所以AD的范围是1～5