试用聚点定理证明有限覆盖定理

证明很长的，要用两个引理。。。

引理一：证明对于满足聚点的X，(Ui)为一个覆盖，那么存在r>0，使得任意x属于X，都存在i，满足B'(x,r)属于Ui。B'(x,r)是x为中心，r为半径的球。

引理二：对于满足聚点的X，那么对任意r>0，都存在有限点集(xk)，满足X等于所有B'(xk,r)的并集。

最后是定理的证明：假设如上的X和(Ui)。由引理一，存在如此的r>0。再由引理二，对于这个r，存在如此的(xk)。于是X可以被(Uk)所覆盖，因为每个Uk包含B'(xk,r)。

两个引理的证明你先想一想，实在做不了再pm我。

第一个对于r=2^(-n)，取对应xn，推出矛盾；第二个可以取数列(xn)，使得任意两个距离大于r，推出矛盾。